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IMO數論問題欣賞

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樓主

發表于 2020-12-11 11:26:20 | 只看該作者回帖獎勵

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此貼將集錦部分IMO數論問題。

S1.這是1988年國際數學奧林匹克(IMO)第6題。被譽為此賽事歷史上最傳奇的題目。

后來的獲得國際數學最高獎的菲爾茲獎得主吳寶珠和陶哲軒當年都在這個比賽中做過此題。

$a$ 和 $b$ 是正整數， $p=\frac{a^2+b^2}{1+ab}$ 也是正整數，

求證： $p$ 必然是某個整數的平方。

證明：我們假設 $p$ 不是完全平方數，根據 $a$ ， $b$ 的對稱性，不妨設 $a\ge b$ ，

則有， $a^2-pba+b^2-p=0$ （1）

設 $\left ( a_0,b_0 \right )$ 是滿足（1），并且 $a_0+b_0$ 為最小的正整數解，

考察一元二次方程 $x^2-pb_0x+b_0^2-p=0$

設 $a_1$ 為另外一根，則

$a_1=pb_0-a_0=\frac{b_0^2-p}{a_0}$

可以推測

$a_1$ 為非零整數，否則原命題得證，

若 $a_1<0$ ，則 $b_0a_1<0$ ， $b_0a_1 \le -1$ 有；

$a_1^2-pb_0a_1+b_0^2-p=a_1^2+b_0^2-p(b_0a_1+1)\ge a_1^2+b_0^2>0$

$a_1$ 為正整數， $a_1=\frac{b_0^2-p}{a_0} <\frac{b_0^2}{a_0} \le a_0$

這與最小的正整數解矛盾，因而原命題得證。

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樓主| 發表于 2020-12-11 12:27:56 | 只看該作者

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樓主| 發表于 2020-12-11 12:34:45 | 只看該作者

admin 發表于 2020-12-11 12:27
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