【匯總】2020年小禾杯試題解析

灰老師

有興趣的在后面跟帖求解

灰老師

第一題已經放進每日一題了，


灰老師和Holy一起提供的解法：


此題考進位原理，這9個數的和是45，
而最后的數字和是9+9=18，
根據進位原理，算出進位次數是3，
又因為末位數字和是9，
得出個位數字和是39，十位數字和是6.
于是我們根據十位數字和為6的數分組。


1.{1，5}，這樣各位數是{2，3，4，6，7，8，9}
所有的組合情況就是7*6=42


2.{2，4}，這樣各位數是{1，3，5，6，7，8，9}
所有的組合情況就是7*6=42


3.{1，2，3}這樣各位數是{4，5，6，7，8，9}
所有的組合情況就是6*5*4=120


于是所有情況的總和是120+42+42=204


歡迎大家批評指正

灰老師

第二題：
step1.設這個多位數為A，記S(A)為A的各位數之和，這樣我們可以得到，
S(A)=20，S(2A)=22，S(4A)=35
這樣可以可以算出4A至少是一個四位數，由3個9和1個8組成，
因為4A是偶數，所以只可能是9998，
經過驗證，9998不能被4整除，這樣可以得到4A至少是一個五位數。


step2.如果4A的首位是1，那么2A肯定是一個4位數，根據2A+2A=4A的加法關系，
我們根據進位原理，22*2-35=9，得到只有一次進位，這樣只有首位發生進位，
其他3位都不能發生進位，這樣4A的后四位數都必須是偶數，最大8*4=32，
與1的和不等于35，不滿題意。


ste3.所以2A必為5位數，4A要使得結果最小，首位最小為2，
這樣后四位的和為33，被4整除，并且要求有3個偶數，這樣得到最小的數是28988。
那么A=7247

感謝Holy修正

第三題   X=11   Y=2    Z=23     x+y+z=36

歡迎指正

灰老師

第四題：
構造一個數列，4，8，12……，2000，應該就是所求的數列，所以n最大是500

灰老師

第五題：

step1.先計算幻和S=（1+19）*19/2*5=38


step2.填出部分數，如下圖

顯然B+C和D+E只有16+19和17+18兩種情況
我們觀察B處，此處不能填18和19，否則B上方只能填10和9，重復了，所以B處只能填16和17
在觀察E處，此處不能填16和19，所以B只能填17和18，
確定了E處，D處就知道只能填18和17了，所以B+C肯定是16+19的組合了

于是我們順利填出B=16，C=19
D=17，E=18
這樣順利得到A=4

灰老師

第六題


這題是文字游戲題，申明幾個關鍵的命題，


1.最大的約數是自身


2.第二小的約數必定是素數，因為1是最小的約數


得到這兩點，迅速看題目得到以下結論；


B最大的約數是C第二小的約數，說明B是素數，


A最大的約數是B第二大的約數，素數只有兩個約數，第二大的約數肯定是1，


得到A=1；


B最大的約數也是D第二大的約數，說明D可以分解為兩個素數的乘積，我們設D=pB,p是素數
B最大的約數是C第二小的約數，說明C可分解為C=mB，m是大于1的整數


C-(A+B+D)=mB-(1+B+pB)=B(m-p-1)-1=2
得到B(m-p-1)=3
得到B=3，和B=1（此時A=B，與第二大的約數矛盾）
把B=3代入，B最大的約數是D第二大的約數，說明D=9或者6
D=9時，C=15
D=6時，C=12
代入檢驗知都是正確的解；
A=1，B=3，C=15，D=9，A+B+C+D=28
A=1，B=3，C=12，D=6，A+B+C+D=22

灰老師

第八題
這題湊出來的，*26能表示成一個兩位數乘以一個一位數，只有126，這個確定了百位都是1，全部都確定了。

         1  8
     *  7 6 7
--------------
       1 2 6
     1 0 8
   1 2 6
-------------
   1 3 8 0 6

灰老師

第七題：

等人解答

灰老師

第九題
等人解答