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    【匯總】2020年小禾杯試題解析

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    發表于 2020-12-12 15:52:30 | 只看該作者 |只看大圖 回帖獎勵 |倒序瀏覽 |閱讀模式

    有興趣的在后面跟帖求解
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    沙發
     樓主| 發表于 2020-12-12 15:58:55 | 只看該作者
    第一題已經放進每日一題了,


    灰老師Holy一起提供的解法:


    此題考進位原理,這9個數的和是45,
    而最后的數字和是9+9=18,
    根據進位原理,算出進位次數是3,
    又因為末位數字和是9,
    得出個位數字和是39,十位數字和是6.
    于是我們根據十位數字和為6的數分組。


    1.{1,5},這樣各位數是{2,3,4,6,7,8,9}
    所有的組合情況就是7*6=42


    2.{2,4},這樣各位數是{1,3,5,6,7,8,9}
    所有的組合情況就是7*6=42


    3.{1,2,3}這樣各位數是{4,5,6,7,8,9}
    所有的組合情況就是6*5*4=120


    于是所有情況的總和是120+42+42=204


    歡迎大家批評指正
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     樓主| 發表于 2020-12-12 16:14:13 | 只看該作者
    第二題:
    step1.設這個多位數為A,記S(A)為A的各位數之和,這樣我們可以得到,
    S(A)=20,S(2A)=22,S(4A)=35
    這樣可以可以算出4A至少是一個四位數,由3個9和1個8組成,
    因為4A是偶數,所以只可能是9998,
    經過驗證,9998不能被4整除,這樣可以得到4A至少是一個五位數。


    step2.如果4A的首位是1,那么2A肯定是一個4位數,根據2A+2A=4A的加法關系,
    我們根據進位原理,22*2-35=9,得到只有一次進位,這樣只有首位發生進位,
    其他3位都不能發生進位,這樣4A的后四位數都必須是偶數,最大8*4=32,
    與1的和不等于35,不滿題意。


    ste3.所以2A必為5位數,4A要使得結果最小,首位最小為2,
    這樣后四位的和為33,被4整除,并且要求有3個偶數,這樣得到最小的數是28988。
    那么A=7247

    感謝Holy修正
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    匿名  發表于 2020-12-12 16:14:38
    第三題   X=11   Y=2    Z=23     x+y+z=36

    歡迎指正

    點評

    z=(x+12)(x-10),由于z是素數, 得到 z=x+12 1=x-10 得到x=11,z=23,x+y+z=36  發表于 2020-12-12 16:22
    X=2可以不?  發表于 2020-12-12 16:16
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     樓主| 發表于 2020-12-12 16:34:47 | 只看該作者
    第四題:
    構造一個數列,4,8,12……,2000,應該就是所求的數列,所以n最大是500
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     樓主| 發表于 2020-12-12 17:16:46 | 只看該作者
    第五題:

    step1.先計算幻和S=(1+19)*19/2*5=38


    step2.填出部分數,如下圖

    顯然B+C和D+E只有16+19和17+18兩種情況
    我們觀察B處,此處不能填18和19,否則B上方只能填10和9,重復了,所以B處只能填16和17
    在觀察E處,此處不能填16和19,所以B只能填17和18,
    確定了E處,D處就知道只能填18和17了,所以B+C肯定是16+19的組合了

    于是我們順利填出B=16,C=19
    D=17,E=18
    這樣順利得到A=4

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     樓主| 發表于 2020-12-12 17:48:29 | 只看該作者
    第六題


    這題是文字游戲題,申明幾個關鍵的命題,


    1.最大的約數是自身


    2.第二小的約數必定是素數,因為1是最小的約數


    得到這兩點,迅速看題目得到以下結論;


    B最大的約數是C第二小的約數,說明B是素數,


    A最大的約數是B第二大的約數,素數只有兩個約數,第二大的約數肯定是1,


    得到A=1;


    B最大的約數也是D第二大的約數,說明D可以分解為兩個素數的乘積,我們設D=pB,p是素數
    B最大的約數是C第二小的約數,說明C可分解為C=mB,m是大于1的整數


    C-(A+B+D)=mB-(1+B+pB)=B(m-p-1)-1=2
    得到B(m-p-1)=3
    得到B=3,和B=1(此時A=B,與第二大的約數矛盾)
    把B=3代入,B最大的約數是D第二大的約數,說明D=9或者6
    D=9時,C=15
    D=6時,C=12
    代入檢驗知都是正確的解;
    A=1,B=3,C=15,D=9,A+B+C+D=28
    A=1,B=3,C=12,D=6,A+B+C+D=22
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     樓主| 發表于 2020-12-12 18:16:59 | 只看該作者
    本帖最后由 灰老師 于 2020-12-12 18:21 編輯

    第八題
    這題湊出來的,*26能表示成一個兩位數乘以一個一位數,
    只有126,這個確定了百位都是1,全部都確定了。

             1  8
         *  7 6 7
    --------------
           1 2 6
         1 0 8
       1 2 6
    -------------
       1 3 8 0 6



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     樓主| 發表于 2020-12-12 18:20:43 | 只看該作者
    第七題:

    等人解答
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     樓主| 發表于 2020-12-12 18:23:53 | 只看該作者
    第九題
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