【匯總】05.復雜行程問題

鸚鵡豆豆

復雜行程問題
一、扶梯問題
1.扶梯問題類似于流水行船問題，解題時要注意人速和電梯速度的合成。
2.和流水行程的不同，扶梯問題通常會考慮“人走的路程”和“電梯帶人走的路程”，所以在解題時通常需要把路程分拆。
3.解題時注意比例法的應用。
二、優化配置問題
注意“極值”發生時的狀況。
三、往返接送
一般的往返接送問題過程：
1.車載甲出發，乙步行前進；
2.在某地甲下車，甲乙步行，車返回接乙；
3.車接上乙后繼續向目的地前進，甲、乙同時到達終點。
往返接送的不同類型：
1.車速不變，人速相同；
2.車速不變，人速不同
3.車速不同，人速相同
4.車速不同，人速不同
5.多組往返接送

例題1：
自動扶梯由下向上勻速運動，每兩秒向上移動1級臺階，小紅在扶梯向下行走，每秒走兩級臺階。已知自動扶梯的可見部分共120級，小紅沿扶梯向下走，從頂部走到底部的過程中，她共走了多少級臺階？

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例題1解答：
V人：V梯=4：1
時間相同，所以S人：S梯=4：1=
因為逆向而行，所以120=S人-S梯=3份，1份=40，所以人走了40×4=160級。

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例題2：
自動扶梯由上向下勻速運動，甲從頂部向下走到底部，共走了90級；乙從底部向上走到頂部，共走了120級。如果乙的速度是甲的速度的兩倍，那么扶梯可見部分共有多少？

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例題2解答：
甲順向而行，走的級數少于可見部分；乙逆向而行，走的級數多于可見部分。
S甲=S見- S梯甲=90
S乙=S見+S梯乙=120
又因為V甲=0.5V乙，S甲：S乙=3：4 ，
所以t甲：t乙=3：2，S梯甲：S梯乙=3：2
所以S見=（90×2+120×3）÷（3+2）=108級

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例題3：一個邊長為4千米的正方形環路，它的四個頂點處各有一輛汽車，最大時速分別為10千米、10千米、40千米、40千米。允許調整四輛車的初始位置，但必須保證每隔環路四個頂點處各有一輛車。如果4輛車同時出發，開到環路上的某個地方集合，最少需要多少分鐘？

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例題3解答：
若想4輛車最短時間內集合，那么任意兩輛車必須能聚合到某個地方，出發點為頂點，先考慮最慢的兩輛車相遇。
4÷（10+10）=0.2小時=12分鐘
兩輛慢車以最快的時速行程最短的相遇距離（即一個邊長），需要12分鐘。
兩輛快車12分鐘最快可行駛40×0.2=8千米＞1.5倍邊長=6，所以兩輛快車可以以30千米/小時的速度慢慢開到慢車相遇點。
綜上，最少需要12分鐘，四車即可相遇。

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例題4：一輛輕騎摩托車小分隊奉命把一份重要文件送到距駐地很遠的指揮部。每輛摩托車裝滿油最多能行120千米，且途中沒有加油站。由于一輛摩托車無法完成任務，隊長決定派四輛摩托車執行任務，其中一輛摩托車負責把文件送到指揮部，另3輛則在中途供給油料后安全返回駐地，請問：指揮部距小分隊駐地最遠可能是多少千米？

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例題4解答：

由于只需一輛摩托車送達文件即可，所有其余三輛車只需提供油即可，為了行駛最遠，選擇D將油分給A、B、C然后返回；C將有分給A、B然后返回；B將油分給A，然后返回；A滿油行駛到指揮部，此時可得最遠距離。

120÷5=24（千米）

D留夠自己需要的2份，還可以給ABC供給3份；

C留夠自己需要的3份，還可以給AB供給2份；

B留夠自己需要的4份，還可以給A供給1份（可以彌補A自己飛的第一段的油量，這樣A才可以滿油再飛120）；

所以最遠可以飛120+24×3=192（千米）

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例題5
學校的80名同學去距離學校36千米的鐵路博物館參觀。但學校只有一輛接送車，車上最多只能載40人（除了司機）。已知車速每小時45千米，同學們步行速度是每小時5千米。那么他們最少需要多少分鐘才能到達博物館？

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例題5解答：
為了時間最少，假設車載1隊40名同學前進到某地，用時t1，將1隊放下，與此同時，2隊40名同學也在步行前進t1；車回頭接2隊同學（與此同時1、2隊都在步行前進），用時t2；車接到2隊同學，載上2隊同學往博物館進發，車與1隊同學同時到達博物館，用時t3。V車：V人=9：1
t1：車行9份，2隊行1份；
t2：車與2隊差的8份，由車和2隊相遇行完，則2隊走0.8份，車行7.2份；同時1隊向前進發0.8份；此時，車與1隊差8份路程；
t3：車接上2隊，向終點前進，還要在終點恰好追上1隊，8份路程差，8倍速度來追，車行9份路程，1隊行1份路程。
綜上，總路程36=9+0.8+1=10.8份，可得一份為10/3千米，因此可求總時間t
9×10/3=30千米    30÷45=40分鐘
1.8×10/3=6千米    6÷5=1.2小時=72分鐘
t=40+72=112分鐘