【匯總】幻方的解法

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幻方定義：

幻方（Magic Square）是一種將數字安排在正方形格子中，使每行、列和對角線上的數字和都相等的方法。
幻方也是一種中國傳統游戲。舊時在官府、學堂多見。它是將從一到若干個數的自然數排成縱橫各為若干個數的正方形，使在同一行、同一列和同一對角線上的幾個數的和都相等。
幻方（OEIS中的數列A006052）的數目還沒有得到解決。

完全幻方:
完全幻方指一個幻方行、列、主對角線及泛對角線各數之和均相等 。
乘幻方:
乘幻方指一個幻方行列、對角線各數乘積相等。

高次幻方:
n階幻方是由前n^2（n的2次方）個自然數組成的一個n階方陣，其各行、各列及兩條對角線所含的
n個數的和相等。例子：（三階幻方，幻和為15，）

高次幻方是指，當組成幻方各數替換為其2，3,...,k次冪時，仍滿足幻方條件者，稱此幻方為k次幻方。

反幻方:
反幻方的定義：在一個由若干個排列整齊的數組成的正方形中，圖中任意一橫行、一縱行及對角線的幾個數之和不相等，具有這種性質的圖表，稱為“反幻方”。
反幻方與正幻方最大的不同點是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和都不同。所謂幻和就是幻方的任意行、列及對角線幾個數之和。如下圖3階反幻方的比較。

多種反幻方:
可以說反幻方是一種特殊的幻方。反幻方的幻和可以全部不同，也可以部分相同。

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3階幻方的解法：

a	b	c
d	e	f
g	h	i

第一步：求幻和
我們知道3個行（列）幻和可以覆蓋全部方格，那么就有幻和S的方程：3S=a+b+c+d+e+f+g+h+i=1+2+3……+9=45
這樣得到幻和S=15


第二步：求中心數
過中心數e的幻和有4個，剛好覆蓋全部方格，并且中心數被額外算了3次，
于是我們得到關于中心數的方程：
4S=a+b+c+d+e+f+g+h+i+3e=3S+3e
得到e=S/3=5

第三步：求邊上的數
我們觀察過a的3個幻和，并沒覆蓋全部方格，只差對邊上的數，于是得到
3S=a+b+c+d+e+f+g+h+i-(f+h)+2a=3S-(f+h)+2a
這樣得到2a=f+h
由此我們得出a不能填1，否則f+h=2這樣的方程只有1+1這一種情況，因為幻方的數字不能重復，
所以1不能在角上，只能在邊上。
不妨設b=1，d，f，h也類似，因為幻方填好后，可以旋轉得到其他的同構幻方。
這樣我們得到：
S=b+e+h，推出h=9

第四步：完善整個幻方
由S=g+h+i得到g+i=6
而6的分解只有一下幾種情況：
6=1+5；6=2+4；6=3+3；
顯然6=3+3；有重復數字排除掉；
而6=1+5中中心數5已經填在中心位置了，不能再填給其他的位置；
于是只有6=2+4的情況，
我們可以選擇一種填寫，
不妨設g=2，i=4；
由g+e+c=S得到c=8
由a+e+i=S得到a=6
由a+d+g=S得到d=7
由c+f+i=S得到f=3

于是我們得到一個基本幻方解：

6	1	8
7	5	3
2	8	4

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奇數階幻方解法（羅伯特法）：1居首行正中央，
依次右上莫相忘，
上出格時往下放，
右出格時往左放，
排重便往自下放，
右上出格一個樣。

下面以5階幻方為例，講述奇數幻方的填法。

a1	a2	a3	a4	a5
a6	a7	a8	a9	a10
a11	a12	a13	a14	a15
a16	a17	a18	a19	a20
a21	a22	a23	a24	a25

第一步：填1的位置
根據口訣，把填入第一行正中間的位置，也即是a3=1

第二步：爬樓梯接著填
根據口訣，a4的上方填2，因為已經出格了，根據第三句口訣，把這個數下方到最后一行，
得到a24=2，接著爬樓梯，a20=3，下一個右邊出格了左放，得到a11=4，a7=5；
右上方a3已經填好，根據第四句下放，得到a12=6，a8=7，a4=8，
接著下方a25=9，
再接著左放a16=10，下方a21=11，a17=12，a13=13，a9=14，a5=15，
都出格下方a10=16，
接著左放a1=17，
下放a22=18，a18=19，a14=20，
下放a19=21，a15=22，
左放a6=23，a2=24，
下放a23=25
這樣得到完整的5階幻方

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

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偶數（4m）階幻方填法（1）
以4階幻方為例：

a1	a2	a3	a4
a5	a6	a7	a8
a9	a10	a11	a12
a13	a14	a15	a16

口訣：

對角線反填；
其它正填。

a1，a4，a6，a7，a10，a11，a13，a16先不管
先把1~16填入非對角線位置，
得到：
a2=2，a3=3；a5=5，a8=8；
a9=9，a12=12；a14=14，a15=15；

然后對角線反著填，
a16=1，a13=4；a11=6，a10=7；
a7=10，a6=11；a4=13，a1=16；

這樣就可以得到一個完整的4階幻方：

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

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偶數（4m）階幻方填法（2）
以8階幻方為例：把它分解成兩（多了繼續分）個四階幻方

a1	a2	a3	a4	a5	a6	a7	a8
a9	a10	a11	a12	a13	a14	a15	a16
a17	a18	a19	a20	a21	a22	a23	a24
a25	a26	a27	a28	a29	a30	a31	a32
a33	a34	a35	a36	a37	a38	a39	a40
a41	a42	a43	a44	a45	a46	a47	a48
a49	a50	a51	a52	a53	a54	a55	a56
a57	a58	a59	a60	a61	a62	a63	a64

對于每個幻方都用4階幻方填法；
這樣對角線就分別是a1，a4，a5，a8，……，a64，
我們依然采用對角線反填的方法完成填寫。
得到一個8階幻方如下：

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

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偶數（4m+2）階幻方填法:以6階幻方為例

a1	a2	a3	a4	a5	a6
a7	a8	a9	a10	a11	a12
a13	a14	a15	a16	a17	a18
a19	a20	a21	a22	a23	a24
a25	a26	a27	a28	a29	a30
a31	a32	a33	a34	a35	a36

先分成四個奇數階幻方，如下圖：

左上九宮稱為A，右下九宮稱為B；
右上九宮稱為C，左下九宮稱為D；
對每一塊依次采用羅伯特法進行構造幻方，
得到以下幻方：

8	1	6	26	19	24
3	5	7	21	23	25
4	9	2	22	27	20
35	28	33	17	10	15
30	32	34	12	14	16
31	36	29	13	18	11

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【例 4】在下圖的每個方格中填入一個數字，使得每行每列和對角線都含有數字1、2、3、4。

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利用對角線上的數的唯一性，直接課求得：

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下面幻方中，五角星處填幾？

8	1
	?
4

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admin 發表于 2021-2-13 13:20
下面幻方中，五角星處填幾？

4+?=8+1
得到?=5