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    【匯總】幻方的解法

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    發表于 2021-2-13 11:25:32 | 只看該作者 |只看大圖 回帖獎勵 |倒序瀏覽 |閱讀模式
    幻方定義

    幻方(Magic Square)是一種將數字安排在正方形格子中,使每行、列和對角線上的數字和都相等的方法。
    幻方也是一種中國傳統游戲。舊時在官府、學堂多見。它是將從一到若干個數的自然數排成縱橫各為若干個數的正方形,使在同一行、同一列和同一對角線上的幾個數的和都相等。
    幻方(OEIS中的數列A006052)的數目還沒有得到解決。

    完全幻方:
    完全幻方指一個幻方行、列、主對角線及泛對角線各數之和均相等 。
    乘幻方:
    乘幻方指一個幻方行列、對角線各數乘積相等。

    高次幻方:
    n階幻方是由前n^2(n的2次方)個自然數組成的一個n階方陣,其各行、各列及兩條對角線所含的
    n個數的和相等。例子:(三階幻方,幻和為15,)

    高次幻方是指,當組成幻方各數替換為其2,3,...,k次冪時,仍滿足幻方條件者,稱此幻方為k次幻方。

    反幻方:
    反幻方的定義:在一個由若干個排列整齊的數組成的正方形中,圖中任意一橫行、一縱行及對角線的幾個數之和不相等,具有這種性質的圖表,稱為“反幻方”。
    反幻方與正幻方最大的不同點是幻和不同,正幻方所有幻和都相同,而反幻方所有幻和都不同。所謂幻和就是幻方的任意行、列及對角線幾個數之和。如下圖3階反幻方的比較。

    多種反幻方:
    可以說反幻方是一種特殊的幻方。反幻方的幻和可以全部不同,也可以部分相同。
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     樓主| 發表于 2021-2-13 11:45:50 | 只看該作者
    3階幻方的解法:
    a
    b
    c
    d
    e
    f
    g
    h
    i
    第一步:求幻和
    我們知道3個行(列)幻和可以覆蓋全部方格,那么就有幻和S的方程:3S=a+b+c+d+e+f+g+h+i=1+2+3……+9=45
    這樣得到幻和S=15


    第二步:求中心數
    過中心數e的幻和有4個,剛好覆蓋全部方格,并且中心數被額外算了3次,
    于是我們得到關于中心數的方程:
    4S=a+b+c+d+e+f+g+h+i+3e=3S+3e
    得到e=S/3=5

    第三步:求邊上的數
    我們觀察過a的3個幻和,并沒覆蓋全部方格,只差對邊上的數,于是得到
    3S=a+b+c+d+e+f+g+h+i-(f+h)+2a=3S-(f+h)+2a
    這樣得到2a=f+h
    由此我們得出a不能填1,否則f+h=2這樣的方程只有1+1這一種情況,因為幻方的數字不能重復,
    所以1不能在角上,只能在邊上。
    不妨設b=1,d,f,h也類似,因為幻方填好后,可以旋轉得到其他的同構幻方。
    這樣我們得到:
    S=b+e+h,推出h=9

    第四步:完善整個幻方
    由S=g+h+i得到g+i=6
    而6的分解只有一下幾種情況:
    6=1+5;6=2+4;6=3+3;
    顯然6=3+3;有重復數字排除掉;
    而6=1+5中中心數5已經填在中心位置了,不能再填給其他的位置;
    于是只有6=2+4的情況,
    我們可以選擇一種填寫,
    不妨設g=2,i=4;
    由g+e+c=S得到c=8
    由a+e+i=S得到a=6
    由a+d+g=S得到d=7
    由c+f+i=S得到f=3

    于是我們得到一個基本幻方解:
    6
    1
    8
    7
    5
    3
    2
    8
    4


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     樓主| 發表于 2021-2-13 12:02:16 | 只看該作者
    奇數階幻方解法(羅伯特法):1居首行正中央,
    依次右上莫相忘,
    上出格時往下放,
    右出格時往左放,
    排重便往自下放,
    右上出格一個樣。

    下面以5階幻方為例,講述奇數幻方的填法。
    a1
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    第一步:填1的位置
    根據口訣,把填入第一行正中間的位置,也即是a3=1

    第二步:爬樓梯接著填
    根據口訣,a4的上方填2,因為已經出格了,根據第三句口訣,把這個數下方到最后一行,
    得到a24=2,接著爬樓梯,a20=3,下一個右邊出格了左放,得到a11=4,a7=5;
    右上方a3已經填好,根據第四句下放,得到a12=6,a8=7,a4=8,
    接著下方a25=9,
    再接著左放a16=10,下方a21=11,a17=12,a13=13,a9=14,a5=15,
    都出格下方a10=16,
    接著左放a1=17,
    下放a22=18,a18=19,a14=20,
    下放a19=21,a15=22,
    左放a6=23,a2=24,
    下放a23=25
    這樣得到完整的5階幻方
    17
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    8
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     樓主| 發表于 2021-2-13 12:12:13 | 只看該作者
    偶數(4m)階幻方填法(1)
    以4階幻方為例:
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    口訣:

    對角線反填;
    其它正填。

    a1,a4,a6,a7,a10,a11,a13,a16先不管
    先把1~16填入非對角線位置,
    得到:
    a2=2,a3=3;a5=5,a8=8;
    a9=9,a12=12;a14=14,a15=15;

    然后對角線反著填,
    a16=1,a13=4;a11=6,a10=7;
    a7=10,a6=11;a4=13,a1=16;

    這樣就可以得到一個完整的4階幻方:
    16
    2
    3
    13
    5
    11
    10
    8
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     樓主| 發表于 2021-2-13 12:28:30 | 只看該作者
    偶數(4m)階幻方填法(2)
    以8階幻方為例:把它分解成兩(多了繼續分)個四階幻方
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    對于每個幻方都用4階幻方填法;
    這樣對角線就分別是a1,a4,a5,a8,……,a64,
    我們依然采用對角線反填的方法完成填寫。
    得到一個8階幻方如下:
    64
    2
    3
    61
    60
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     樓主| 發表于 2021-2-13 12:42:57 | 只看該作者
    偶數(4m+2)階幻方填法:以6階幻方為例
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    先分成四個奇數階幻方,如下圖:

    左上九宮稱為A,右下九宮稱為B;
    右上九宮稱為C,左下九宮稱為D;
    對每一塊依次采用羅伯特法進行構造幻方,
    得到以下幻方:
    8
    1
    6
    26
    19
    24
    3
    5
    7
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    23
    25
    4
    9
    2
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    33
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    12
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     樓主| 發表于 2021-2-13 13:08:16 | 只看該作者
    【例 4】在下圖的每個方格中填入一個數字,使得每行每列和對角線都含有數字1、2、3、4。


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     樓主| 發表于 2021-2-13 13:12:03 | 只看該作者
    利用對角線上的數的唯一性,直接課求得:

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     樓主| 發表于 2021-2-13 13:20:00 | 只看該作者
    下面幻方中,五角星處填幾?
    8
    1
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     樓主| 發表于 2021-2-13 13:20:42 | 只看該作者
    admin 發表于 2021-2-13 13:20
    下面幻方中,五角星處填幾?

    4+?=8+1
    得到?=5
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